高考立体几何与导数结合求最值的例题分析
在高中数学中，立体几何和微积分是两个重要的数学分支，它们通常被独立教授。然而，在某些情况下，这两个分支可以结合起来解决更复杂的问题，尤其是在求解最值问题时。本文将介绍一个高考水平的立体几何问题，它涉及到如何使用导数来求解体积最大值的问题。
假设有一个长方体箱子，其底部为一个正方形，边长为2a。箱子的高度为h，如下图所示。
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我们的任务是找到在给定总表面积的情况下，可以容纳的最大体积。也就是说，我们要找到最大的h，使得箱子的总表面积等于A。
首先，我们需要建立问题的数学模型。我们知道，箱子的总表面积等于底部的面积加上四个侧面的面积。因此，可以写出总表面积A的表达式如下：
A = 4a² + 2ah
其中，4a²表示四个侧面的总面积，2ah表示底部和侧面之间的连接部分的总面积。
接下来，我们需要找到A关于h的导数，并求解其最大值。为此，我们需要将A表达式中的a表示成h的函数。由于底部为正方形，a = h。将a代入A的表达式中，得到：
A = 4h² + 2h² = 6h²
现在，我们有了A关于h的表达式，可以求导并令导数等于零，以找到A的最大值。
首先，对A = 6h² 求导数，得到：
A' = 12h
然后，令导数等于零，解方程12h = 0，得到h = 0。
现在，我们找到了A的一个临界点，但我们需要确定它是否是一个极大值点。为此，我们可以使用二阶导数测试。计算A''（h的二阶导数），如果A''(0) < 0，则h = 0是A的极大值点。
计算A''(h)，得到：
A'' = 12
由于A'' 是一个正常数，A''(0) = 12 > 0，所以h = 0是A的极小值点。这意味着在h = 0时，A取得最小值。因此，我们需要找到A的最大值的解。
考虑到我们的目标是最大化A，我们可以考虑箱子的体积V作为一个函数，其中V = a²h。现在，我们的任务是找到V关于h的表达式，并求解其最大值。
首先，将a表示成h的函数，a = h。然后，将a代入V = a²h 的表达式中，得到：
V = h³
接下来，我们需要找到V关于h的导数，并令导数等于零，以找到V的最大值。
对V = h³ 求导数，得到：
V' = 3h²
然后，令导数等于零，解方程3h² = 0，得到h = 0。
现在，我们找到了V的一个临界点，但我们需要确定它是否是一个极大值点。使用二阶导数测试，计算V''（h的二阶导数）。如果V''(0) < 0，则h = 0是V的极大值点。
计算V''(h)，：
V'' = 6h
由于V'' 是一个正常数，V''(0) = 6 > 0，所以h = 0是V的极小值点。这意味着在h = 0时，V取得最小值。
然而，我们的目标是找到A的最大值，而A和V之间存在关系，即A = 6h²。因此，我们可以将V的最小值带入A的表达式中，得到：
A = 6h²
A的最大值就是6h²的最大值。根据我们之前的计算，h = 0时，A取得最小值，因此在h = 0时，A的最大值也达到。
通过以上的分析，我们得出结论：在给定总表面积A的情况下，可以容纳的最大体积是当箱子的高度h等于0时。这意味着当箱子的一个侧面与底部平行时，体积最大。
这个问题展示了如何将立体几何和微积分的知识结合起来，通过求解导数来解决一个最值问题。这种方法在解决各种不同类型的最值问题时都非常有用，同时也展示了数学在现实生活中的应用价值。
